Proposición 3

Enunciado

Sea $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico e $(Y,{\mathcal{T}}_Y)$ un subespacio.

1. Si $V$ es abierto en $Y$ ($V\in {\mathcal{T}}_Y$) e $Y$ es abierto en $X$ ($Y\in \mathcal{T}$), entonces $V$ es abierto en $X$.

2. $A\subset Y$ es cerrado en $Y$ ($Y\setminus A\in {\mathcal{T}}_Y$) si, y solo si, $A=Y\cap C$, con $C$ cerrado en $X$.

3. Si $A$ es cerrado en $Y$ e $Y$ es cerrado en $X$, entonces $A$ es cerrado en $X$.

4. Para cualquier $A\subset Y$, ${\mathrm{Cl}}_Y(A)=Y\cap \overline{A}$, donde ${\mathrm{Cl}}_Y(A)$ denota la clausura de $A$ en $Y$.